线性方程组是啥
就是长这样的一堆方程组，未知数个数$n=3$
\[\left\{ \begin{aligned} a_{11} x_1 + a_{12} x_2 + a_{13} x_3 &= b_1 \\ a_{21} x_1 + a_{22} x_2 + a_{23} x_3 &= b_2 \\ a_{31} x_1 + a_{32} x_2 + a_{33} x_3 &= b_3 \end{aligned} \right.\]怎么解
变成几个矩阵
\[A = \left[\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix} \right], x = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} , b = \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{bmatrix}\]于是就相当于解$Ax=b$
如果几个$b$都是$0$，那这个方程组就是齐次的，否则就是非齐次的
齐次的（$b$ 是零向量
算$A$的秩，如果$R(A) = n$，那么这个方程组只有一个解，而且全部$x$的值都是$0$，所以这个解又叫零解（好奇怪的名字
又如果$R(A) < n$，也就是$R(A) ≠ n$，那有至少有一个$x$是无法确定的，情况就会变成有无穷多个解
（因为这时$A$这个线性变换是会降维的，如果是二维到一维，就会有一条线的向量被压缩成零向量，三维到二维则是一个面，很显然这些向量的数量是无数个
非齐次的（$b$ 不是零向量
还是算$A$的秩，但是还要算$(A,b)$这个增广矩阵的秩，如果$R(A) =R(A,b) = n$，即$x$变换前后维度不变且维度与 $b$ 相等，那此时它就有唯一解
当$R(A) < R(A,b)$时，也就是$x$经过变换$A$之后维数比 $b$ 的小，那就十分遗憾了，这时是无解的，毕竟不在一个维度嘛
还有一种情况是$R(A) =R(A,b) < n$这时虽然发生了降维，但是维数还是够用的，于是啊就会出现跟上面一样的情况：一条线或者一个面的向量被压缩成了目标向量 $b$ ，此时的结果是有无穷多解
比较正经的过程
对专家而言，算$R$的最佳姿势是把那些矩阵化成行阶梯形，然后看有几个阶梯就是秩为几
简单却不所熟悉的性质
对于线性方程组的解，有一些神奇的性质
对一个非齐次的线性方程组$Ax=b$，如果有$R(A)=R(A,b)=r<n$（就是未知数比方程多，没有确定的解），那与之对应的齐次线性方程组$Ax=0$就是它的导出线性方程组
如果有一个线性方程组
\(x+y=3 \tag1\) 和一个比较一般的线性方程组
\(Ax=b\tag2\) 都有两个解$\eta_1,\eta_2$，对$(1)$就让
\(\eta_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} , \eta_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 3 \end{bmatrix}\) 吧，有一个显然的结论，$\eta_1+\eta_2$不是$Ax=b$的解
两解做差得齐次
对$Ax=b$的两个解$\eta_1,\eta_2$，$\eta_1-\eta_2$是$Ax=0$的解
对于$(1)$而言，$\eta_1-\eta_2=\begin{bmatrix}1 \-1 \end{bmatrix}$，很显然是$x+y=0$的解
而对于$(2)$这种一般的方程组来说，可以知道
\[A\eta_1=b,A\eta_2=b\]所以根据乘法分配律，得到
\[A(\eta_1-\eta_2) = A\eta_1 - A\eta_2 = b - b = 0\]不是很合理吗
两解相加也不齐
$\xi$ 是$Ax=0$的一个解，让 $\eta_1$ 和 $\xi$ 相加，那得到的结果还是$Ax=b$ 的解
比如对$(1)$，$\eta_1-\eta_2+\eta_1 = \begin{bmatrix}2 \ 1 \end{bmatrix}$，发现确实还是$x+y=3 \tag1$的解
因为$A(\xi+\eta_1)=A\xi+A\eta_1=b+0=b$，于是得证
专家怎么说
专家发现，如果$\eta^$是$Ax=0$的一个特解，那$Ax=b$的所有解$x$都能用$\eta^$和上面的$\xi$表示，即 $x=\eta^*+\xi$
说白了，上面两个性质都是对这个特解部分的加加减减，只要不加上特解那部分，得到的结果永远是在$Ax=0$的解的范围内