会把握分寸的
微分方程是一种很有意思的方程，其基本形式为$F(x,y,y’,y’’,\ldots,y^{(n)})=0$，也许叫做有导数的方程会更容易理解？
由于这种方程实在是太特别了，所以大多数是解不出来的，专家只会出五种能解出来的，如果解不出来那就是出错题了
一阶的
一阶意为一阶导
一阶可分离变量
一阶可分离变量微分方程长这样
\[\frac{dy}{dx} = g(x) \cdot h(y)\]将变量分离，然后积分即可
\[h(y)\, dy= g(x)\, dx \Rightarrow \int h(y)\, dy = \int g(x)\, dx\]需要注意的是，移动会丢解，因为分母$≠0$，对于$0$的情况要专门讨论
比如
\[\frac{dy}{dx} = 2xy^2\]得到
\(\frac{1}{y^2}dy = 2x\, dx \Rightarrow \int \frac{1}{y^2}dy = \int 2x\, dx\) 也就是
注意，在积分后必须要马上加上常数$C$，不要等下一步化简了再加
\(-\frac{1}{y}=x^2+C\) 如果有追求，可以化成更好看的样子
\[y=-\frac{1}{x^2+C}\]所以千万不能晚加$C$啊
一阶齐次
一阶齐次微分方程的特点是未知数$x,y$次数相同，而常数与$y’$都看作$0$次，比如下面那两个
\[x^2y'=x(y+x),xy'=y+x\]可以看见前者每一项的次数都是$2$，后者每一项次数都是$1$
这种方程可以直接化为一阶可分离变量微分方程，只要两边同时除以一个最高次项再换元就好了
第一个方程除以$x^2$变成
\[y'=\frac yx + 1，令u=\frac yx \Rightarrow y = ux\]因此
\[y'=u'x+u\]带回得到
\[u + 1 = u'x + u, 即\frac{du}{dx} = \frac 1x\]然后照着上面可分离算就好
一阶线性
一阶线性微分方程的通式是$y’+P(x)y=Q(x)$，因为对于未知函数$y$而言是个一次方程
线性方程的解属于线性代数的内容，如果$Q(x) \equiv 0$，这就是个齐次线性方程，反之若$Q(x) \not \equiv 0$则这是个非齐次线性方程
这个方程的解实际上是前人猜出来的，所以背公式就好了
$y’+P(x)y=Q(x)$的通解即为$y’+P(x)y=0$的解
通解如下
\(y=e^{-\int P(x)\, dx}[\int Q(x)e^{\int P(x)\, dx}\, dx + C] = \frac{\int Q(x)e^{\int P(x)\, dx}\, dx + C}{e^{\int P(x)\, dx}}\) 右边那个式子可能更好记一点
二阶的
对于能出题的二阶微分方程，不是二阶常系数线性就是可降阶的
二阶可降阶
具体来说有三种
Ⅰ
第一种也是纯猜
即$y^{(u)}=f(x)$这样的
有$y’‘=e^{2x}-\cos x$
就能猜出$y’=\frac 12e^{2x} - \sin x + C$
然后再猜$y=\frac 14e^{2x} + \cos x + Cx + D$就结束了
Ⅱ
第二种是二阶线性的，且不是常数可降阶
长这样$y’‘=f(x,y’)$
只要$y’‘=p’,y’=p$变成一阶可分就能算了
比如有$(1+x^2)y’‘=2xy’$，变成$(1+x^2)p’=2xp$
算出$p$之后记得一定要化为显函数，因为还要带回再算一次一阶的
如果式子里有$y$怎么办？不管它就好了，因为去不掉
Ⅲ
还有一种长这样$y’‘=f(y,y’)$
对于这种，需要让$y’=p$，于是$\displaystyle y’‘=p’=\frac{dp}{dx}=\frac{dp}{dy} \cdot \frac{dy}{dx}=p\frac{dp}{dy}$
然后呐，就是一模一样的一阶可分时间了
如果有
\[yy''-{y'}^2=0\]按上面的步骤做得到
\(yp\frac{dp}{dy} -p^2=0 \Rightarrow y\frac{dp}{dy} =p\) 这不就是我们一阶可分离变量吗
二阶常系数齐次线性
二阶常系数齐次线性微分方程长这样
\[y''+py'+qy=0\]$p,q$是两个常数来的，解这个方程的过程其实也是猜
只要解出$r^2+pr+q=0$的两个根$r_1,r_2$就好了，对于不同的$r_1,r_2$，有以下的解
| $r_1,r_2$的形式 | $r^2+pr+q=0$通解 |
|---|---|
| 两个不相等的实根 | $y=Ce^{r_1x}+De^{r_2x}$ |
| $r_1=r_2$ | $y=(C+Dx)e^{r_1x}$ |
| 一对共轭复根$r_{1,2}=\alpha ± \beta i$ | $y=e^{\alpha x}(C\cos \beta x + D\sin \beta x)$ |
欧拉公式：你好
背完这些公式，也应该够用了……吧，对于更高次的类似方程，也不过是这几种情况的延伸，就是把每对解拼起来