累积

积分是求导的逆运算，通过不定积分可以算出某个导函数的一堆原函数，而定积分可以算出某段导函数与$x$轴围成的面积

这就是一个不定积分：

\(\int f(x)\,dx\) $\int$是积分号，$f(x)$是被积函数，$f(x)\,dx$是被积表达式，$x$是积分变量

其实$\int$就是一个拉长的s，来自于sum

有些积分是必须要背的，与基本导数对应的叫常用导数

==积完千万别忘掉后面要加一个常数$C$！！！==

性质

和导数类似，不定积分有这么两个很符合直觉的性质

\[\begin{gather} \int [f(x)+g(x)]\,dx=\int f(x)\,dx+\int g(x)\,dx \\ \int kf(x)\,dx=k\int f(x)\,dx \end{gather}\]

怎么算

凑微分

这是非常重要的一种方法，就是把表达式凑成基本积分的样子然后就能直接套公式了，很多题目都要用到这个方法

如果忘了微分的性质，就要回去复习了

比如

\(\int \frac{1}{3x+1} \,dx\) 显然只要把微分凑成$d(3x+1)$就能套公式了

然后有 \(\frac{1}{3} \int \frac{1}{3x+1} \,d(3x)\) 再免费加个$1$得

\[\frac{1}{3} \int \frac{1}{3x+1} \,d(3x+1)\]

就能积出答案了

\[\frac{1}{3} \ln(3x+1) +C\]

换元

如果出现了根号，那用换元去根号是个好主意

比如有

\(\int \frac{e^{3\sqrt x}}{\sqrt x} \,dx\) 只要让$t=\sqrt x$，加上两行$x=t^2,\,dx=2t\,dt$就能继续了

于是变成

\(\int \frac{e^{3t}}{t}2t\,dt=2\int e^{3t}\,dt\) 之后凑一下

\[\frac{2}{3} \int e^{3t}\,d(3t)=\frac{2}{3}e^{3t} +C=\frac{2}{3}e^{3\sqrt x} + C\]

还有一种方法叫三角换元，不过似乎考得比较少

分部

分部积分法是由成绩求导法则推出来的一个==很重要==的公式，特别适用于积分中两个相乘的式子看起来没有任何关系时用

这个公式非常简单

\(\int u\,dv=uv-\int v\,du\) 一般而言，如果两个都能凑的话，就把更复杂那个放到$d$后面，复杂度的顺序一般是反，对，幂，三，指

如果只有一个那就无所谓什么复杂度了

比如有个$\displaystyle \int x\cos x \,dx$

变成

\(\int x \,d(\sin x)\) 然后

\[x\sin x - \int \sin x \,dx=x\sin x + \cos x + C\]

结束~

分式，亦称有理函数

两个多项式的商$\displaystyle \frac{P(x)}{Q(x)}$被称为有理函数，亦称有理分式，当$P(x)$的最高次数小于$Q(x)$的最高次数时，这就是个真分式，否则就叫假分式

如果手头是个假分式，那就通过加加减减变成真分式，如果手头是个真分式，那就拆分子分母得到基本项再凑微分套公式

比如

\[\int \frac{x+1}{x^2-5x+6}\,dx = \int \frac{x+1}{(x-3)(x-2)}\,dx\]

这个式子实际上可以拆成

\(\frac{A}{x-3}+\frac{B}{x-2}\) 由待定系数法可以发现

\[\left\{ \begin{aligned} &A+B=1 \\ &-2A-3B=1 \end{aligned} \right.\]

解得

\[原式=\int (\frac{4}{x-3} -\frac{3}{x-2})\,dx\]

然后便能拆开算了

如果底下次数不是$1$呢，对于

\(\frac{x-3}{(x-1)^2(x+1)}\) 要化成

\[\frac{A}{x-1} + \frac{B}{(x-1)^2}+\frac{C}{x+1}\]

由此可见，次数为几就会有几项，而且每个次数都会有一项

另外，对于三角函数

如果出现了三角函数+常数，那大概率会需要使用万能公式

令$\displaystyle u=\tan \frac{x}{2}$，于是$\displaystyle \sin x=\frac{2u}{1+u^2},\cos x=\frac{1-u^2}{1+u^2}$，而$x=2\arctan u$，于是$\displaystyle \,dx=\frac{2}{1+u^2}\,du$，之后就可以用有理函数的计算方式了