能导也能积

重积分就是给多元函数积分啦

二重积分

下面就是一个二重积分

\[\mathop{\iint}\limits_{D} f(x,y) d\sigma\]

$f(x,y)$ 是被积函数， $f(x,y) d\sigma$ 是被积表达式， $d\sigma$ 是面积元素，也能写成 $dxdy$ ， $x$ 和 $y$ 是积分变量， $D$ 是积分区域，二重积分可以拿来求一个质地不均匀的片片的质量

有一堆很显然的性质就不列出来了

怎么算

通常而言，都要把二重积分化成二次积分来算，比如说我有个积分长这样

\[\mathop{\iint}\limits_{D} xy d\sigma\]

$D$是$y=x$和$x=1$和$y=0$围成的区域，于是我们很自然得出

\[\left\{ \begin{aligned} &0 \le x \le 1,\\ &0 \le y \le x \end{aligned} \right.\]

然后上面那个式子就变成

\[\int_0^1 \left [\int_0^x xy dy\right ]dx\]

也就是变成外层上下限是常数，内层上下限是可以含有变量的样子

依照现有关系，把$x$和$y$的内外层顺序调换一下也是可以的

还有个神奇的结论，在$a \le x \le b,c \le y \le d$的情况下，有

\[\mathop{\iint}\limits_{D} f_1(x)\cdot f_2(y) dxdy=\left [ \int_a^b f_1(x)dx \right ] \cdot\left [ \int_a^b f_2(y)dy \right ]\]

在极坐标下

有的时候把直角坐标换成极坐标会舒服很多（说的就是圆）

事实上把直角坐标转化为极坐标的一般过程是令 $x=\rho\cos \theta,y=\rho\sin \theta,d\sigma = \boldsymbol{\rho} ~d\rho d\theta$

注意微分部分多了个 $\rho$ ！具体为什么这样也是由积分的定义推出来的，我懒得推了（

于是呢原本的积分就变成了

\[\mathop{\iint}\limits_{D} f(x,y) d\sigma = \mathop{\iint}\limits_{D} f(\rho\cos \theta,\rho\sin \theta)\rho d\rho d\theta\]

为了避免忘记，需要再强调一遍 $\theta$ 是角度，$\rho$ 是与原点的距离

三重积分

其实和二重积分大差不差，只是多了个球面坐标，虽然不用学

\[\mathop{\iiint}\limits_{\Omega} f(x,y,z) dV\]

这就是一个三重积分，在直角坐标系下计算的过程和二重积分是一样的，除了要多套一层

而柱面坐标系就是给极坐标系加了个纵轴，没什么创新