区区导数
区区变化率
高中都学过
定义求导
但是怎么定义求导还是要记一下的，总的来说就是
\(f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\) 其实这个高中也学过
不过类似于极限，导数也有左右，左导数和右导数统称为单侧导数
和极限一样，如果一个点左右导数一样且连续，那这个点是可导（光滑） 的，即
\[f_-'(x_0)=\lim_{h \to 0^-}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h \to 0^+}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=f_+'(x_0)\]必须要注意的是：分段函数的分段点处必须用定义求导
老生常谈的求导法则
加减乘除就不说了，都会
反函数
简单来说就是
\(\displaystyle[f^{-1}(x)]'=\frac{1}{f'(y)}或\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dy}}\) 显然要$f(y)≠0$且单调
复合函数
有个$y=f[g(x)]$，令$u=g(x)$那导数就是$y’=f’(u) g’(x)$
更多导数
去这里背
导数开花阶阶高
高阶导数这东西，一般是可以慢慢算找规律的吧
比如
\[\begin{aligned} &(\sin x)^{(n)}=\sin(x+\frac{n\pi}{2}) \\ &(e^{ax})^{(n)}=a^ne^{ax} \end{aligned}\]还有的之后再补
对于两个乘在一起的函数的高阶导数，有个大概是莱布尼兹发现的莱布尼兹公式
\[(uv)^{(n)}=\sum_{k=0}^nC_n^ku^{(n-k)}v^{(k)}\]挺像那个二项式定理的，但算起来很麻烦
是你，隐函数！
隐函数求导需要和上边的复合函数求导一起看……当年就是不记得复合函数求导而痛失过五分啊
隐函数就是$x$和$y$都在同一侧的函数，与之对应，平时看到的函数叫显函数
对其求导也是十分简单：两边同时对$x$求导，有$y$就按复合函数求导来
参数方程又是何方神圣
有这么一个参数方程 \(\left\{ \begin{aligned} &x=\phi(t) \\ &y=\psi(t) \end{aligned} \right.\) 那该怎么求$\frac{dy}{dx}$呢，显然
\(\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt} \cdot \frac{dt}{dx}\) 然后上下同除$dt$变成
\[\frac{dy}{dt}\cdot \frac{1}{\frac{dx}{dt}}=\frac{\psi'(t)}{\phi'(t)}\]所以只要求$x$和$y$关于$t$的导数就好了，二阶导不过就是再套一层，把$\displaystyle \frac{d^2y_x}{dx^2}$变成$\displaystyle \frac{d(y_x’)}{dx}$便能继续上下同除$dt$了
洛必达！
也就是当$\displaystyle \lim_{x \to a}\frac{f(x)}{F(x)}=\frac{0}{0}$时，有
\[\lim_{x \to a}\frac{f(x)}{F(x)}=\lim_{x \to a}\frac{f'(x)}{F'(x)}\]也就是此时两数之比与导数之比相等
泰勒
一个能将那些不是多项式的函数用多项式拟合的方法……具体怎么实现我觉得并不重要了
一些应试的东西都在这里
熟悉的单调性以及没那么熟悉的东西
单调性和高中没区别
凹凸性
凹指函数在某一区间上增速（即导数）越来越快，一个例子是$y=x^2$
凸则反过来，一个例子是$y=-x^2$
显然衡量导数的变化率用的是二阶导，也就是说，$f’‘(x)>0$时函数为凹，$f’‘(x)<0$时为凸
如果凹凸性在一个点发生了变化，也就是说这个点处的二阶导为零，两边的二阶导一正一负，那这个点被称为拐点
拐点也可能来自于二阶导不存在
极值和最大最小值
有两种方法
第一种和高中时的一样，找到$f’(x)=0$的点，然后看这个点两边的$f’(x)$是否有变化就好
第二种也要找出$f’(x)=0$的点，然后看这个点处的二阶导，如果$f’‘(x)<0$，那这里就是极大值点，反之当$f’‘(x)>0$时即为极小值点
第二种方法在之后会使用得更多
曲率
曲率是个高中都学过的东西，就是拿来衡量某一点的弯曲程度的，记作$K$
虽然我也不记得怎么来的了，但是
\[K=\frac{\vert y'' \vert}{(1+y'^2)^{\frac32}}\]曲率圆的半径叫曲率半径，又记作$\rho$
\[\rho=\frac1K\]