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常见的代数系统

 
  • 2025年 05月20日

注意！注意！你已经来到了这门课最最难的部分！这部分的内容是 （可以） 相当有深度的，所以这些东西可能会比较枯燥

幸好，考试只靠抽象代数的超级削弱版，也就是只有半群和群

半群和群

初入群聊第五课： 先是半群

半群指的是 $<S,>$ 这样一个代数系统，二元运算 $$ 满足结合律，按照其中元素数量的有限与无限，也可以为其加上有限或无限的前缀

专家发现有限半群里面一定有等幂元，证明过程嘛……我懒得写了（但大抵是基于代数运算的封闭性吧

如果一个半群 $<S,*>$ 有到另一个代数系统 $<T,\circ>$ 的同态映射 $f$ ，那 $<f(s),\circ>$ 也是一个半群

对一个半群 $<S,>$ ，如果 $B$ 是 $S$ 的子集，而且 $<B,>$ 也是半群，那 $<B,>$ 就是 $<S,>$ 的子半群；显然，如果 $$ 在 $B$ 上是封闭的， $<B,>$ 就肯定是 $<S,*>$ 的子半群

如果一个半群有幺元的话，这个半群就叫含幺半群或独异点，类似子半群，也有子独异点的定义

[!tip] 子独异点的幺元要和其父独异点（我随便这么叫的）相同子独异点的幺元要和其父独异点（我随便这么叫的）相同

深入群聊第六课：好一个群

在独异点的基础上，如果集合里面每个元素都有对应的逆元，那它就是一个 群（group）

和半群一样，群也有有限群和无限群的概念，有限群 $<G,*>$ 里 $G$ 的元素个数叫做这个群的阶数，跟集合一样记作 $ G $ ，对于群里面的某个元素 $a$ ，能使 $a^n=e$ 的最小的正整数 $n$ 叫做 $a$ 的阶数，这个 $a$ 叫有限阶元素，写作 $ a =n$ ，如果这个 $n$ 不存在， $a$ 就是无限阶元素

对于一个群 $<G,*>$ 专家总结出了一堆性质

  • 幺元是唯一的等幂元
  • $ G \geq 2$ 时，就没有零元了
  • 若 $a * b = b$ 或 $b*a=b$ ，那 $a$ 就是幺元
  • 所有元素都是可消去的
  • $(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1},(a^n)^{-1}=(a^{-1})^n$
  • $ax=b$ 和 $ya=b$ 都有唯一解
  • $ a = a^{-1}$
  • 有限群的每个元素都是有限阶的，且元素阶数 $\leq G $
  • 若 $ a =r$ ，则 $n\mod r = 0$ 时有 $a^n=e$ （因为 $n$ 是 $r$ 的倍数，而 $a^r=e$ （见阶的定义））

如果知根知底的话……这些性质不算难记……但是套了太多层了，确实不好记啊

群亦有子群，除了 $<G,>$ 和 $<{e},>$ 叫做平凡子群，因为这两个子群是每个群都有的，别的子群都叫做非平凡子群

显然子群中每个元素的逆元也要在那个子集里面

如果一个群的子群的元素都可以用一个阶数为 $k$ 的元素 $a$ 表示，即 $ a =k$ ，令 $A={ a,a^2,\cdots,a^k }$ ，那 $<A,*>$ 叫原群的 $k$ 阶子群
如果群 $<G,>$ 有个子群 $<H,>$ ，$a \in G$ ，一个记作 $aH={ a*h h \in H }$ 的集合叫做 $H$ 的左陪集，同理 $Ha={ h*a h \in H }$ 是右陪集，若 $aH=Ha$ ，那它们就直接叫做陪集。 $a$ 是陪集的代表元素

（此处省略一些陪集的性质，因为我懒，有时间了再补）

拉格朗日定理：有限群 $<G,>$ 与其子群 $<H,>$ 必有 $ G / H $ 为整数
于是就有了推论：对 $n$ 阶有限群，其中元素 $ a =k$ ，则 $n/k$ 为整数， $a^n=e$ （好眼熟

这部分内容似乎不太可能会考……？

如果 $<G,>$ 一个子群 $<H,>$ 对于 $\forall g \in G$ ，都有 $Hg=gH$ ，那 $<H,>$ 叫做 $<G,>$ 的正规子群或正则子群，对于 $\forall h \in H$ ，有 $ghg^{-1}\in H$ ； $<H,>$ 的陪集可以导出 $G$ 上的同余关系，并且 $<G,>$ 的商代数 $<G/H,\odot>$ 为群， $<G/H,\odot>$ 可以叫做商群

$<G,*>$ 和 $<G/H,\odot>$ 同态

坏了真的看不懂了投降喵补继续看了喵

奇妙群聊第七课：特殊的群

我们能见到有那么多群，肯定有一些是比较特别的，比如什么交换群啊，循环群啊，置换群啊

如果一个群 $<G,*>$ 满足交换律，那这个群叫交换群或阿贝尔群，只要一个群满足

\[(x*y)*(x*y)=(x*x)*(y*y)\]

那这就是一个交换群，由于交换群的子群的左右陪集必然相等，所以它的子群都是正规子群

如果一个群中所有元素都可以用其中一个元素 $a$ 的幂表示（令 $a_0=e$ ），即 $G={ a^k k \in Z }$ ，那这个群叫做循环群，记作 $G=$ ， $a$ 叫这个群的生成元，循环群同样分为有限和无限的

在 $n$ 阶群 $<G,>$ 里面，如果 $a$ 是 $n$ 阶元素，那 $a$ 就是生成元， $<G,>$ 是循环群， $G={ a^0,a,a^2,\cdots ,a^{n-1} } = { a,a^2,a^3,\cdots ,a^{n} }$

如果一个群的阶数是素数，那这个群必定是个循环群，除了幺元外的所有元素都是生成元

在同态映射下，循环群对应过去的 $<f(S),\circ>$ 也是循环群

专家总结了一些循环群的性质：

  • 循环群是交换群
  • 在生成元为 $a$ 的 $n$ 阶循环群 $<G,*>$ 里面，不仅有 $ a =n$ ，还有 $<G,*>$ 与 $<N_n,\oplus_n>$ 同构
  • 在生成元为 $a$ 的无限循环群里面，有 $a$ 和 $a^{-1}$ 两个生成元， $G={ a^0,a^{\pm 1},a^{\pm 2},\cdots,a^{\pm n},\cdots }$ 并与 $<Z,+>$ 同构
  • 循环群的子群还是循环群
  • 对生成元为 $a$ 的 $n$ 阶循环群 $<G,*>$ ，如果正整数 $k$ 能整除 $n$ ，那这个循环群有且只有一个 $k$ 阶循环子群

*置换群

留给以后的自己吧……

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