对逻辑加以区别

谓词逻辑

之前专家花了好大劲发明了有很多东西的命题逻辑体系，想拿这玩意包罗世界万千推理，但很快就发现一山还有一山高，有的推理居然不能用这套体系表示！于是恼羞成怒的专家又要给这个理论打补丁，于是我们今天才能见到谓词逻辑这东西

语文的报复：词性

当然这是数学，所以对各种词性的研究不会真的有语文那么多。专家把我们要用到的词分成了四种：个体词、谓词、函词、量词

个体词就是一个个可以独立出现的个体，大多数（或者说一直？）是让名词来当。个体词在命题中可以充当个体常量和个体变量，就是那些 $x$ 啊 $a$ 啊什么的。个体变量的取值范围叫个体域

谓词是用来修饰个体词或者表示个体词之间关系的，用各种大写字母比如 $P,Q,R,G,B$ 来表示，当然也分为谓词常量和谓词变量。由于谓词可以修饰的个体词数量不定，能表示 $n$ 个个体词性质的谓词叫做 $n$ 元谓词， $n$ 可以等于 $0$ ， $n=0$ 时表示的就是一般命题

谓词可以让形容词、动词和某些有特定含义的名词来当。一元谓词写成 $P(x)$ ，二元谓词写成 $P(x,y)$ ，之后以此类推

函词和函数是一个意思，一样用 $f,g,h$ 这样的小写字母表示，$f(x)$ 表示 $x$ 的什么什么东西，多元函词也是类似的

量词和高中学的是一样的，分成全称量词 $\forall$ 和存在量词 $\exists$ ，通过量词可以限定个体词的范围，才能解决有的推理不能表示的问题，具体写法像是 $(\forall x)P(x),(\exists y)(P(y) \land Q(y)),(\forall x)(\exists y)(P(x) \rightarrow y)$，一个量词只能作用于它后面直接接触那一串，具体看下一节吧（

对于全称量词 $\forall$ ，如果要往对应的变量添加谓词，需要把谓词变成蕴含式的前件加入，像这样： $(\forall x)(P(x) \rightarrow Q(x))$ ；对于存在量词 $\exists$ 如果要往对应的变量添加谓词，需要通过合取 $\land$ 加入，比如： $(\exists x)(P(x) \land Q(x))$

新干员追加：谓词

我们能做的和此前的一样多

在加入了谓词函词量词后，命题逻辑公式堂堂升级为谓词逻辑公式

好吧这么说可能不太严谨，如果想要严谨的定义，自己去课本找

如果有一个谓词，如 $P(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ ，又有 $n$ 个确定的 $t_1,t_2,\cdots,t_n$ ，那 $P(t_1,t_2,\cdots,t_n)$ 就叫做一个原子公式，就是说它已经不能再拆分了

谓词公式有这样的规则：

原子公式是谓词公式
如果 $A$ 是谓词公式，那 $\neg A$ 当然也是谓词公式
如果 $A$ 和 $B$ 都是谓词公式，那 $A \land B, A\lor B, A \rightarrow B, A \leftrightarrow B$ 肯定也都是谓词公式
如果 $A$ 是谓词公式，那 $(\forall x)A, (\exists x)A$ 也是谓词公式
有限次重复 1 2 3 4 得到的东西当然也是谓词公式

和命题公式很像吗？确实

在 $(\forall x)P(x)$ 和 $(\exists x)P(x)$ 里面 $P(x)$ 就是量词的辖域或者作用域（就像变量的作用域一样）， $x$ 在辖域里面的出现叫做约束出现， $x$ 叫做约束变元，反之则叫自由出现， $x$ 叫自由变元

但是有的时候会遇到这种情况： $(\forall x)P(x) \rightarrow (\exists x)Q(x)$ 那就很难受了啊，因为有两个 $x$ ，你怎么说得清你指的是哪个 $x$ 呢？

很容易发现两个作用域里面的 $x$ 是完全无关的，这时就可以把第二个 $x$ 换成别的字母了，比如变成 $(\forall x)P(x) \rightarrow (\exists y)Q(y)$ ，就避免了冲突；对于自由变元而言也一样，换成不冲突的字母就行了