关系
关系（relation） 与生活中的关系别无二致，就是一个东西和另一个东西的关系（废话
但是为了表示这种东西，数学家又要用某些符号系统来表示
序偶（有序对）
序偶（ordered couple） 啊就是两个有序排列的东西，比如$x$和$y$的排列方式就有$<x,y>$和$<y,x>$两种
像坐标就是一个序偶
那如果我们要表示很多可能相近的关系又该怎么办呢，总不能写一大堆吧
如果有两个集合 $A$ 和 $B$ ，我想要一大堆（全部）从$A$中元素到$B$中元素的关系要怎么样呢
$A \times B$ 表示 $A$ 和 $B$ 的笛卡尔积，就是一个包含了很多 $<x,y>$ 的集合， $x$ 属于 $A$ 而 $y$ 属于 $B$
那什么是关系呢
如果一个集合里面全都是序偶，那这个集合就是一个二元关系，被记作$R$
如果呢 $<x,y> \in R$ ，那 $x$ 和 $y$ 以 $R$ 相关，写作 $xRy$
如果 $R \subseteq A \times B$ ，那 $R$ 就是 $A$ 到 $B$ 的一个关系，如果 $A$ 就是 $B$ ， $B$ 就是 $A$ ，那 $R$ 就是 $A$ 上的关系
| $\varnothing$ 是任意集合上的空关系， $E_A=A \times A$ 是 $A$ 上的全域关系，$I_A={ <x,x> | x \in A }$叫$A$上的恒等关系 |
如果说有个关系$R$，那它的所有序偶的第一个元素的集合叫它的定义域或者前域，和初中学的是一个东西，记作$dom~R$，当然也有值域或者后域，记作$ran~R$，还有个$fld~R = dom~ ~R \cup ran~ ~R$叫做$R$的域（field）
我们的关系又该如何表示？
最最数学的方法就是用集合来表示啦，也就是在某个集合里面塞上一堆序偶
或者也可以用图，更准确地说是有向图来表示，对一个$<x,y>$，只需要画一条从$x$到$y$的有向线段就好啦
亦可以用关系矩阵，和那个表示图的邻接矩阵是一样的，非常简单
关系有什么性质呢
有的关系有特殊的性质，这些性质很多时候是比较好使的
某个关系有自反性指这个集合上的所有元素都和自己有这个关系，比如说在${1,2,3}$上的关系$R_1 = { <1,1>,<2,2>,<3,3> }$就是有自反性的，而$R_2 = { <1,1>,<2,2> }$就不是；相反，如果每个元素都和自己没这个关系，那这个关系就有反自反性
而对称性是指一个关系里面每个$<x,y>$都有对应的$<y,x>$；反对称性则是指关系里除了$<x,x>$这种自己对自己的序偶之外都不对称
传递性是说一个关系里如果有$<x,y>,<y,z>$，那也一定有$<x,z>$，传递性好像反不了（
很容易发现 $=$ 是满足上面三个关系的哎
关系当然是可以运算的
作为一种集合，关系当然可以进行集合的所有运算，除此之外当然还有些别的
复合运算（就像复合函数一样）
就像$f \circ g=g(f(x))$一样，$R \circ S$表示类似的概念，具体懒得写出来了，反正是一样的（
逆运算
顾名思义，逆运算就是把原本关系的所有序偶给反向，比如有个关系$R={ <1,2>,<3,4> }$那它的逆就是$R^{-1}={<2,1>,<4,3>}$，非常的简单
显然有$(R \circ S)^{-1} = S^{-1}\circ R^{-1}$
幂运算
| 专家定义在$A$上的关系$R$有$R^0={<x,x> | x \in A}$，对任何$n\geq 1$有$R^n = R^{n-1} \circ R$ |
对于有限集$A$上面的关系$R$，存在自然数 $t,s$ 使 $R^t=R^s$
这是因为无论幂运算几次，其中的元素都是在$A\times A$里面的，而$A\times A$的子集是有限的，于是在不限制$n$的情况下必然会有$R^t=R^s$撞车
闭包运算
啥是闭包运算呢说实话都不知道为啥要叫闭包，就是说在某个集合$A$上的某个关系$R$没有某个关系应该有的性质，然后又能找到一个最小的有这个性质的$R’$符合$R\subseteq R’$，那这个$R’$就叫做$R$的某某闭包
也就是 $R$ 的有某个性质的最小超集
$R$的自反闭包记作$r(R)$，对称闭包记作$s(R)$，传递闭包记作$t(R)$
| 显然 $\displaystyle r(R)=R \cup I_A,~s(R)=R\cap R^{-1},~t(R)=\bigcup^{\infty}_{i=1}R^i,~若 | A | =n,~t(R)=\bigcup^{n}_{i=1}R^i$ |
还有一些乱七八糟的性质
\[\begin{aligned} rs(R)=sr(R) \\ rt(R)=tr(R) \\ st(R)\subseteq ts(R) \end{aligned}\] \[\begin{aligned} r(R_1)\cup r(R_2) = r(R_1\cup R_2) \\ s(R_1)\cup s(R_2) = s(R_1\cup R_2) \\ t(R_1)\cup t(R_2) \subseteq t(R_1\cup R_2) \end{aligned}\]有什么关系是特殊的呢
当然是有的，像是等价关系、相容关系和偏序关系是三类有特殊性质的关系，且等价关系$\subseteq$相容关系
等价关系
等价关系可以用来表示等价（废话），只需要一个关系具有自反性、对称性和传递性就行
模 $n$ 同余关系就是一种等价关系，记作$x\equiv y \pmod n$也就是
x % n == y % n # 显然 x 和 y 和 n 必须是自然数
如果一个集合 $A$ 有个等价关系 $R$ ，又有个 $x$ 在这个 $R$ 关系里面，那 $A$ 里所有和 $x$ 等价的元素可以组成一个集合 $[x]_R$ ，这个集合叫做 $x$ 关于 $R$ 的等价类， $x$ 叫做这个等价类的生成元或者代表元
如果把由 $R$ 所决定的所有等价类又都放到一个集合里面，那这个新的集合叫做 $A$ 关于 $R$ 的商集，记作 $A/R$
举个栗子： $A={ 1,2,3,4,5,6,7,8 }$， $R$ 是 $x\equiv y \pmod 3$ ，那么
\[A/R=\{ \{ 1,4,7 \},\{2,5,8\},\{3,6\} \}\]非常的简单
对于某个集合 $A$，如果把它拆成一些元素不遗漏不重复的非空子集，那这些集合组成的集合叫做 $A$ 的一个划分，里面的那些子集叫做划分的块或类，显然上面的 $A/R$ 就是一个划分，这些称为商集的划分又叫 $R$ 导出的等价划分
通过某个划分， 可以通过下面这样导出它对应的等价关系
\[R=(S_1\times S_1) \cup (S_2 \times S_2)\cup \cdots \cup (S_m \times S_m)\]只要一个关系具有自反性和对称性，那这个关系就是相容关系，但是这玩意确实没啥可以讲的，基本都和等价关系差不多
偏序关系
偏序关系可以表示集合里面每个元素之间的单向关系，如果 $A$ 上面的关系 $R$ 有自反性、反对称性和传递性，那这个关系就是偏序关系，对 $<x,y> \in R$ 可以记作 $x \leq y$ 。这个 $A$ 由于上面有偏序关系，就可以被叫做偏序集，写作 $<A,\leq>$
由于这关系是有单向顺序的，所以专家发明了一种直观的表示这种关系的图，叫哈斯图（Hasse）（但是并不是他发明的
比如要表示 $A={ 1,2,3,4,6,12 }$ 上面的整除关系就可以画出这样一个图
（用PPT画的，非常丑陋
可以发现我们要让“最小”的元素排在下面，然后按大小一层一层往上排（也就是 $<x,y>$ 里面越 $x$ 的元素就越在下面）
[!tip] 哈斯图一定一定要竖着画！！！
类似于函数啥的，专家又给出了一些新的定义
在哈斯图里面，如果一个元素在所有其他元素的下面，那这个元素就叫做这个图里面的最小元素或最小元，同样的还有最大元素或最大元
如果一个元素只是在最下面（下面没有更多元素了），那就像函数的极小值一样叫做极小元素或极小元，同理还有极大元素和极大元（显然最某元一定是极某元
对 $<A,\leq>$ 和 $A$ 和 $A$ 的子集 $B$ ，如果 $a \in A$ 对 $\forall x \in B$ 有 $x \leq a$ 的话，$a$ 就是 $B$ 的上界，反之亦有下界
[!tip] $a$ 不一定属于 $B$ ！
如果 $a$ 是最小的上界的话，那它还会叫做最小上界或上确界，当然也有最大下界或下确界
如果有 $<A,\leq>$ ， $A$ 里面每两个元素都有关系，那它的哈斯图就是一条线，这个偏序关系叫做全序关系或者线序关系， $<A,\leq>$ 叫做全序集或者线序集或者链
如果有 $<A,\leq>$ ， $A$ 的每个非空子集都有最小元素，那这个偏序关系叫做良序关系， $<A,\leq>$ 叫做良序集
终于结束了，好累（
贵圈真乱（
函数
显而易见函数也是一种关系呐，但是我已经不想重复函数的定义了
如果函数 $f$ 的定义域是 $A$ ，值域是 $B$ ，有一种新的记法是 $\text{dom } f = A$ ， $\text{ran } f = B$
好像只要记住跟高数书一样的概念就好了，关于单射和满射
单射就是 $x$ 和 $y$ 一对一，满射就是每个 $x$ 和 $y$ 都有对应关系，双射则是既单射又满射
然后可以用 $\circ$ 来表示函数的复合运算，就和上面说的一样， $f \circ g$ 就是 $g(f(x))$
至于逆函数啥的……应该个个都会吧（