啥是二次型
\[f(x_{1}, x_{2}, x_{3}) = x_{1}^2 + x_{2}^2 + x_{3}^2 + 2x_{1}x_{2} + 2x_{2}x_{3} \tag{1}\]这样一个式子就是一个二次型，更严谨点叫三元二次型
它对应的矩阵是
\[\left[ \begin{matrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{matrix}\right]\]再比如
\[f(x_{1}, x_{2}, x_{3}) = 5x_{1}^2 + 4x_{2}^2 + 2x_{3}^2 + 4x_{1}x_{2} + 2x_{1}x_{3}\]它对应的矩阵是
\[\left[ \begin{matrix} 5 & 2 & 1 \\ 2 & 4 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \end{matrix}\right]\]很容易发现，一个有$n$个变量的二次型对应的矩阵就是一个$n×n$的对称矩阵，主对角线上面的数对应平方项的系数，其他位置，比如$(1,2)$和$(2,1)$对应$x_{1}x_{2}$系数的一半
如果把$(1)$式中的量提出来进行一点变化，比如让
\[x = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix}, A = \left[ \begin{matrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{matrix}\right]\]$A$就是对应的那个矩阵，则专家把下面的$(2)$式称为$(1)$式的矩阵表达式
\(f=f(x)=x^TAx \tag2\) 其实就是
\[f(x_{1}, x_{2}, x_{3})=x_{1}^2 + x_{2}^2 + x_{3}^2 + 2x_{1}x_{2} + 2x_{2}x_{3}=\begin{bmatrix} x_1 &x_2 &x_3 \end{bmatrix} \left[ \begin{matrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{matrix}\right] \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix}\]$A$的秩同时也是$f$的秩
啥是标准形
标准形是只有平方项的二次型，比如
\[f(y) = y_1^2 + 2y_2^2 + 3y_3^2\]非常的简单，可是这两个xing怎么还不一样
怎么变成标准形
专家表示，任何一个二次型$f=x^TAx$都能化成一个标准形，只需要进行一个$x=Qy$的正交变换，就可以把$(1)$变成$f=\lambda_1y_1^2+\lambda_2y_2^2+\lambda_3y_3^2$了，这里的$\lambda$都是矩阵的特征向量对应的特征值
[!TIP] 对于实对称矩阵，不同特征值算出来的特征向量是正交的
算完特征向量之后，把不正交的给正交化（就是同一个$\lambda$算出来的）
正交化单位完之后得到三个向量$(q_1,q_2,q_3)$，这$(q_1,q_2,q_3)$就是所求的$Q$了
于是可喜可贺，便得$f=\lambda_1y_1^2+\lambda_2y_2^2+\lambda_3y_3^2$了
[!IMPORTANT] $\lambda$必须与$q$的位置匹配！！！
即$\lambda_1$的值必须与$q_1$配对
最后在结尾处洋洋洒洒留下一行：存在正交变换$x=Qy$，其$Q=(q_1,q_2,q_3)$可将二次型化为标准形
还有个方法叫拉格朗日配方法，但是我不记得了，上面的正交变换法又不是不能用
呃好吧，其实有时候拉格朗日配方法还挺方便的，只要你水平够高，能把那些$x$全部化为平方项那就是秒杀
比如说
\[f(x)=x_1^2+x_2^2+2x_3^2+2x_1x_3\]一眼能发现可以配方成
\[f(x)=(x_1+x_3)^2+x_2^2+x_3^2\]\(令\left\{ \begin{aligned} &y_1=x_1+x_3 \\ &y_2=x_2 \\ &y_3=x_3 \end{aligned} \right.,即 \left\{ \begin{aligned} &x_1=y_1-y_3 \\ &x_2=y_2 \\ &x_3=y_3 \end{aligned} \right.\) 不就完成了吗，而对应的矩阵是
\[y=\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}\right] x\]倒过来就是所求
\[x=\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}\right]^{-1}y\]得到结果，和那个即是一样的欸
\[\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 \end{matrix}\right]\]真是中学知识呢，那为什么还有拉格朗日的冠名呢
正定二次型又是啥
符合某些条件的二次型就叫正定二次型，对应的矩阵叫正定矩阵
相似的还有负定二次型之类的概念……但是考试似乎也不怎么考
如果我有一个这样的矩阵
\[\left[ \begin{matrix} 5 & 2 & -4 \\ 2 & 1 & -2 \\ -4 & -2 & 5 \end{matrix}\right]\]然后发现
\[\det \left[ \begin{matrix} 5 \end{matrix}\right]=5>0, \det \left[ \begin{matrix} 5 & 2 \\ 2 & 1 \end{matrix}\right]=1>0, \det\left[ \begin{matrix} 5 & 2 & -4 \\ 2 & 1 & -2 \\ -4 & -2 & 5 \end{matrix}\right] = 1 > 0\]也就是每个以左上角为顶点的正方形的行列式都大于$0$，于是这个矩阵，这个二次型就是正定的
那些正方形还有个名字，叫顺序主子式
负定类似，只是条件变成了行列式正负交替